En parcourant un formulaire de trigonométrie, vous avez peut-être cherché une identité pour sin a + cos b. Et vous n’avez rien trouvé. Pas de formule encadrée, pas de démonstration associée. Cette absence a une explication précise : sin a + cos b n’est pas une identité trigonométrique, c’est une somme de deux termes qui dépendent d’angles différents et de fonctions différentes. Comprendre pourquoi cette expression ne se simplifie pas est aussi formateur que de maîtriser les formules d’addition classiques.
Pourquoi sin a + cos b ne se simplifie pas comme sin(a+b)
Les formules d’addition relient sin(a+b) ou cos(a+b) aux sinus et cosinus de a et de b pris séparément. Par exemple, sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b. Chaque terme du membre de droite mélange les deux angles a et b à travers des produits.
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Avec sin a + cos b, la situation est différente. Vous additionnez le sinus d’un angle et le cosinus d’un autre, sans aucun produit croisé. Les deux termes vivent chacun sur leur propre axe du cercle trigonométrique : sin a est la coordonnée verticale du point associé à l’angle a, tandis que cos b est la coordonnée horizontale du point associé à l’angle b.
Pour approfondir ce point, vous pouvez consulter la formule sin a plus cos b sur Kömal, qui détaille cette distinction avec des schémas.
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Aucune identité standard ne permet de fusionner ces deux termes en un seul. Quand vous voyez sin a + cos b dans un exercice, la bonne réaction est de ne pas chercher à simplifier, mais de travailler avec chaque terme séparément ou de transformer l’un des deux pour harmoniser l’expression.
Transformer cos b en sinus pour harmoniser l’expression
Vous avez déjà remarqué que cos et sin sont la même courbe, simplement décalée ? La relation cos b = sin(pi/2 – b) permet de réécrire l’expression sous une forme homogène :
sin a + cos b = sin a + sin(pi/2 – b)
Maintenant, les deux termes sont des sinus. On peut appliquer la formule de transformation d’une somme en produit :
sin p + sin q = 2 sin((p+q)/2) cos((p-q)/2)
En posant p = a et q = pi/2 – b, on obtient :
sin a + cos b = 2 sin((a + pi/2 – b)/2) cos((a – pi/2 + b)/2)
Cette écriture factorisée n’est pas une « simplification magique ». Elle reste plus longue que l’expression de départ. Son intérêt apparaît dans des contextes précis :
- Résoudre une équation du type sin a + cos b = 0, car un produit nul implique qu’au moins un facteur est nul
- Étudier le signe de l’expression sur un intervalle donné, en analysant chaque facteur séparément
- Calculer certaines intégrales où la forme produit se prête mieux aux techniques de calcul
En dehors de ces cas, garder sin a + cos b tel quel reste souvent le choix le plus lisible.
Cas particulier : sin a + cos a avec un seul angle
Quand les deux angles sont identiques (a = b), la situation change. L’expression sin a + cos a ne mélange plus deux angles distincts, et une factorisation utile existe.
On utilise la formule d’addition « à l’envers ». Le but est d’écrire sin a + cos a sous la forme R sin(a + phi), où R est une amplitude et phi un déphasage.
sin a + cos a = racine de 2 multiplié par sin(a + pi/4)
Comment retrouver ce résultat
On part de la formule sin(a + pi/4) = sin a cos(pi/4) + cos a sin(pi/4). Les valeurs cos(pi/4) et sin(pi/4) valent toutes les deux racine de 2 divisée par 2. En multipliant par racine de 2, on reconstruit exactement sin a + cos a.
Ce résultat est très utilisé en terminale et en prépa. Il permet de lire directement l’amplitude (racine de 2) et le déphasage (pi/4) d’un signal sinusoïdal. Toute combinaison linéaire de sin et cos du même angle se ramène à un seul sinus avec amplitude et phase.
Reconnaître la bonne situation dans un exercice de trigonométrie
Face à une expression trigonométrique, la première question à se poser : les deux termes portent-ils sur le même angle ou sur des angles différents ?
- Même angle (sin a + cos a, 3 sin a – 2 cos a) : factorisation sous la forme R sin(a + phi) ou R cos(a + psi), toujours possible
- Angles différents (sin a + cos b) : pas d’identité directe, conversion en fonctions identiques puis formule somme-produit si nécessaire
- Somme de même fonction (sin a + sin b, cos a + cos b) : formule de factorisation directe, sans conversion préalable
Cette grille de lecture évite de perdre du temps à chercher une formule qui n’existe pas. En troisième, la trigonométrie reste liée au triangle rectangle (rapports de côtés). Les formules d’addition et de factorisation apparaissent au programme de première et terminale, puis sont approfondies en prépa.
Piège fréquent dans les copies
Écrire sin a + cos b = sin(a+b) est une erreur classique. Le membre de droite se développe en sin a cos b + cos a sin b, ce qui ne donne sin a + cos b que dans des cas très particuliers (cos b = 1 et cos a sin b = 0, par exemple). Dans le cas général, cette égalité est fausse.
La trigonométrie récompense la méthode plus que la mémoire. Savoir qu’une expression ne se simplifie pas est déjà une information utile : elle oriente vers la bonne stratégie de résolution au lieu de tourner en rond sur un formulaire.